0 ile 1 Arasında Sonsuz Tane Reel Sayı mı vardır?
Evet, 0 ile 1 arasında sonsuz tane reel sayı vardır. Bu, Cantor'un köşegen yöntemi kullanılarak kanıtlanabilir.
Cantor'un köşegen yöntemi, herhangi bir sonlu sayıdaki reel sayıyı listeleyebilseniz bile, hala listeleyemeyeceğiniz sonsuz sayıda reel sayı olduğunu göstermeye yarayan bir yöntemdir.
Örneğin, 0 ile 1 arasında 100 reel sayı listeleyebiliriz:
0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.10, 0.11, 0.12, 0.13, 0.14, 0.15, 0.16, 0.17, 0.18, 0.19, 0.20, 0.21, 0.22, 0.23, 0.24, 0.25, 0.26, 0.27, 0.28, 0.29, 0.30, 0.31, 0.32, 0.33, 0.34, 0.35, 0.36, 0.37, 0.38, 0.39, 0.40, 0.41, 0.42, 0.43, 0.44, 0.45, 0.46, 0.47, 0.48, 0.49, 0.50, 0.51, 0.52, 0.53, 0.54, 0.55, 0.56, 0.57, 0.58, 0.59, 0.60, 0.61, 0.62, 0.63, 0.64, 0.65, 0.66, 0.67, 0.68, 0.69, 0.70, 0.71, 0.72, 0.73, 0.74, 0.75, 0.76, 0.77, 0.78, 0.79, 0.80, 0.81, 0.82, 0.83, 0.84, 0.85, 0.86, 0.87, 0.88, 0.89, 0.90, 0.91, 0.92, 0.93, 0.94, 0.95, 0.96, 0.97, 0.98, 0.99.
Ancak, bu 100 reel sayının dışında, hala 0 ile 1 arasında listeleyemediğimiz sonsuz sayıda reel sayı vardır. Örneğin, 0.1 ile 0.2 arasında listeleyemediğimiz sonsuz sayıda reel sayı vardır. Bu reel sayıları Cantor'un köşegen yöntemini kullanarak oluşturabiliriz.
Cantor'un köşegen yöntemini kullanarak 0.1 ile 0.2 arasında bir reel sayı oluşturmak için aşağıdaki adımları takip edebiliriz:
0.1 ile 0.2 arasında listelenen 100 reel sayıyı alalım. Bu reel sayıların her biri için, ondalık basamakların köşegenini alalım. Bu köşegenler arasındaki boşluğa yeni bir basamak koyalım. Elde ettiğimiz yeni reel sayı, 0.1 ile 0.2 arasında listelenen 100 reel sayıdan farklı olacaktır. Bu adımları tekrarlayarak, 0.1 ile 0.2 arasında listeleyemediğimiz sonsuz sayıda reel sayı oluşturabiliriz.Benzer şekilde, 0 ile 1 arasında listeleyemediğimiz sonsuz sayıda reel sayı vardır.